從高二時開始接觸圓錐曲線，總復習時也刷了不少題，但針對圓錐曲線感覺還是沒開竅？

本期，調研君根據試題調研第4輯《解析幾何與概率統計》中的內容，利用圓錐曲線第一、第二、第三定義的相關性質快速求解！

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圓錐曲線定義

圓錐曲線的第一定義相信大家都非常的熟悉，在計算圓錐曲線中一些有關長度的問題時，利用第一定義能夠將不易求得的長度轉化為易求的長度，從而快速求值。

可是圓錐曲線的第二定義和第三定義同學們是不是感覺比較陌生？

在圓錐曲線中，掌握第一、第二、第三定義有時可以幫助我們快速破解有關長度、離心率的相關問題，做到小題小做。

命題角度一：圓錐曲線第一定義的應用

圓錐曲線的第一定義是我們最常用的定義，具體為：

平面內與兩個定點 F1、F2的距離的和等於常數（大於|F1F2|）的點的軌跡為橢圓；

平面內與兩個定點 F1、F2的距離的差的絕對值等於非零常數（小於|F1F2|）的點的軌跡為雙曲線；

平面內一個定點 F 和一條直線 L（L不經過點F）的距離相等的點的軌跡為拋物線。

在實際應用過程中，要尤其註意限制條件，避免因粗心而出錯。

例①：

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例②：

【思路指引】

如何把向量關系轉化為長度關系？

註意關鍵數字“2”，“2”可以聯想到中點，結合“AB的中點P”，不難想到中位線，由此我們連接PF1，PF2，得到 PF1，PF2 分別是△ABC和△ABD的中位線，即可得到|BC|=2|PF1|，|BD|=2|PF2|，再根據橢圓的定義計算即可得解。

例③：

命題角度二：圓錐曲線第二定義的應用

圓錐曲線第二定義：

平面內到定點 F 的距離與到定直線 L 距離的比值為常數e的點的軌跡為圓錐曲線，其中定點 F 為焦點，定直線 L 為準線。

若e∈（0，1），則軌跡是橢圓；

若e∈（1，+∞），則軌跡是雙曲線；

若e=1，則軌跡是拋物線。

註意定點不在直線上，當軌跡是以原點為中心、焦點在 x 軸上的橢圓或雙曲線時，F（c,0），L:

例④：

例⑤：

命題角度三：圓錐曲線第三定義的應用

橢圓和雙曲線的第三定義為：

平面內的動點到兩定點A1（a,0），A2（-a,0）的直線斜率乘積等於常數的點的軌跡，其中e為離心率。

嚴格來說，這個定義是有瑕疵的，動點的軌跡不包括 A1，A2 兩點，在實際解題中，我們多使用下述結論：

①已知橢圓C：的左、右定點分別為A1（-a,0），A2（a,0），動點 P（x,y）是橢圓上異於 A1，A2 的點，則

拓展：已知M1（m,n），M2（-m,-n）是橢圓上關於原點對稱的兩點，P（x,y）是橢圓上異於M1，M2的任意一點，若kpm1，kpm2 存在，則（或者，其中e為橢圓的離心率）。

②已知雙曲線C：的左、右定點分別為A1（-a,0），A2（a,0），動點 P（x,y）是雙曲線上異於 A1，A2 的點，則

拓展：已知M1（m,n），M2（-m,-n）是雙曲線上關於原點對稱的兩點，P（x,y）是雙曲線上異於 M1，M2的任意一點，若 kpm1，kpm2 存在，則（或者，其中e為雙曲線的離心率）。

例⑥：

【思路指引】

過原點的直線交橢圓於A，B兩點，說明A，B關於原點對稱，問題又涉及離心率，應用橢圓第三定義便是解題的不二之選。當然，也可利用點差法，不過運算量偏大。

例⑦：

例⑧：

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