我的命運就是把代數拓撲這把魚叉插入代數幾何這條大鯨的身體裏。

——萊夫謝茨

撰文 | [美] 約翰·德比希爾

譯者 | 張浩

在對代數幾何的最終改革過程中，有兩個人脫穎而出：所羅門·萊夫謝茨和奧斯卡·紮裏斯基（1899-1986）。兩人都是猶太人，都出生在 19 世紀末的俄國。

01 萊夫謝茨

萊夫謝茨稍微年長一些，出生於 1884 年。盡管莫斯科是他的出生地，但是他的父母都是土耳其人，一家人不得不跟著做生意的父親四處奔波。萊夫謝茨實際上是在法國長大的，他的母語是法語。作為布勞威爾的同代人，他與布勞威爾一樣也在代數拓撲領域取得了成就。事實上，他與布勞威爾有個相似之處更值得一提：萊夫謝茨也有一個以他的名字命名的不動點定理。萊夫謝茨在 21 歲時來到美國，在 1911 年取得數學博士學位之前，他在工業實驗室工作了五年。這項工作導致他在一次電力事故中失去了雙手。他在余生中都戴著假肢，再戴一副黑色皮手套。在美國普林斯頓大學教書期間（從1925年起），他會讓一名研究生把一支粉筆塞到他手裏，然後開始他一天的課程。萊夫謝茨精力充沛，說話刻薄，為人固執，他是一個有個性的人，西爾維婭·娜薩在《美麗心靈》一書中講了一些關於他的故事。萊夫謝茨非常生動地總結了自己與代數史的關系：“我的命運就是把代數拓撲這把魚叉插入代數幾何這條大鯨的身體裏。”

02 紮裏斯基

紮裏斯基比萊夫謝茨小 15 歲，出生於 1899 年。出生於這段時期的俄國是非常不幸的，實際上，作為猶太人，無論出生在舊世界的哪個地方都是悲慘的。混亂的第一次世界大戰、德國的入侵以及隨後的內戰，這一切迫使紮裏斯基背井離鄉。1920 年，他去了意大利羅馬。在那裏，他在卡斯泰爾諾沃的指導下學習。卡斯泰爾諾沃是“現代經典幾何”的意大利學派的領袖。那時，卡斯泰爾諾沃和他的同事已經明白，他們的方法無法再取得進展。卡斯泰爾諾沃當時 55 歲左右，他覺得到了把火種傳遞下去的時候了，他敦促紮裏斯基學習萊夫謝茨的拓撲方法。

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奧斯卡·紮裏斯基

20 世紀 20 年代中期，墨索裏尼及法西斯分子正在加強對意大利人民的公共生活的控制。1925 年，紮裏斯基在羅馬獲得博士學位。在一兩年內，意大利顯然不再是他所希望的能躲避動蕩的避難所。當時萊夫謝茨在普林斯頓大學，在卡斯泰爾諾沃的鼓勵下，紮裏斯基與萊夫謝茨建立了工作上的友誼。1927 年，在萊夫謝茨的幫助下，紮裏斯基在美國巴爾的摩的約翰斯·霍普金斯大學得到一個初級教職。兩年後，他擁有了那裏的正式教職。

在整個 20 世紀 20 年代末和 30 年代初，紮裏斯基都致力於將萊夫謝茨的現代拓撲思想帶到他從意大利學來的“現代經典幾何”中去。這項研究的成果就是出版於 1935 年的著作《代數曲面》（Algebraic Surfaces）。

然而，在編寫和研究這本書的過程中，紮裏斯基逐漸意識到代數幾何的前進方向並不在於僅僅利用拓撲學，而是要利用希爾伯特在《幾何基礎》中提出以及被應用在諾特的抽象代數中的公理化方法。從 1937年起，紮裏斯基為自己設定了研究目標：重建代數幾何的基礎。

彼時，紮裏斯基已經成為一名美國數學家，他於 1945~1946 學年在巴西聖保羅大學做訪問學者，他的職責包括每周講三個小時的講座。只有一個人參加了紮裏斯基的所有講座，這個人就是比紮裏斯基年輕一點的法國數學家安德烈·韋伊（1906-1998）。

安德烈·韋伊

韋伊出生於 1906 年，他既是一個猶太人，也是一位和平主義者。在和紮裏斯基同一時間來聖保羅大學訪問之前，為躲避歐洲的戰爭，韋伊來到美國尋求教職。韋伊是一位非常有建樹的著名數學家，紮裏斯基在此之前至少見過他兩次，一次是 1937 年在普林斯頓大學，另一次是 1941 年在哈佛大學。然而，他們一起在聖保羅度過的這一年對兩人來說都是格外多產的一年。

與紮裏斯基一樣，韋伊也有利用希爾伯特和諾特的抽象代數重建代數幾何的想法。特別是，他致力於推廣代數曲線、代數曲面和代數簇的理論，使其結果在任何基域裏都成立。韋伊的工作是現代數論代數化的基礎。如果沒有這項工作，那麼安徳魯·懷爾斯在1994 年對費馬大定理的證明將不可能出現。

彼時，19 世紀興起的各種思想即將匯集到一起，形成對幾何學的一種新認識，這種新認識以抽象代數為基礎，融合了拓撲學、分析學以及關於曲線和曲面的“現代經典”思想，甚至結合了數論。希爾伯特的“啤酒杯”和諾特的環、普呂克的直線和李的群、黎曼的流形和亨澤爾的域，這些思想都匯合在代數幾何的統一概念之下。這是 20 世紀的代數學取得的偉大成就之一，但這絕不是唯一的成就，也不是爭議最小的成就。

本文經授權選自《代數的歷史》第14章。

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